在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p
1
与p
2
(0＜p
1
，p
2
＜1)．求：
(Ⅰ)甲攻擂次数X
1
的概率分布；
(Ⅱ)乙攻擂次数X
2
的概率分布；
(Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X
3
的概率分布．
(Ⅳ)假设乙对丙的胜率p
2
是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题． 事件“X
1
＝n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n－1次对局中均失败，在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n－1次对局中均失败，在第n次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”，则 P{X
1
＝n}＝(q
1
q
2
)
n-1
(p
1
＋q
1
p
2
)，n＝1，2，…． 其中q
i
＝1－p
i
，i＝1，2． (Ⅱ)“X
2
＝0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上场．P{X
2
＝0}＝p
1
；“X
2
＝n”(n≥1)表示“甲、乙与丙各对阵n－1次均失败，甲、丙第n次对阵中甲又失败，但乙、丙第n次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵n次均失败．甲在第n＋1次与丙再对阵时胜丙”，则 P{X
2
＝n}＝(q
1
q
2
)
n-1
(q
1
p
2
＋q
1
q
2
p
1
)＝q
1
(p
2
＋q
2
p
1
)(q
1
q
2
)
n-1
，n＝1，2，…． (Ⅲ)显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功． “X
3
＝2n－1”表示“丙在前2n－2次守擂均成功，第2n－1次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局n－1次均失败，而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”，因此有 P{X
3
＝2n－1}＝(q
1
q
2
)
n-1
p
1
，n＝1，2，…． 类似分析可知P{X
3
＝2n}＝(q
1
q
2
)
n-1
q
1
p
2
，n＝1，2，…． (Ⅳ)设事件A表示“甲攻擂成功”，则
若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则P(A)＝1／2，即
将p
2
＝1／4代入上式，得p
1
＝1／5． 或
甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)＝P(
)，即
若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则P(A)＝1／2，即
将p
2
＝1／4代入上式，得p
1
＝1／5． 或
甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)＝P(
)，即
【答案解析】