已知向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，α
3
；(Ⅱ)α
1
，α
2
，α
3
，α
4
；(Ⅲ)：α
1
，α
2
，α
3
，α
5
．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
的秩为4．
【正确答案】正确答案：证1 因R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关，而α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，故存在数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得 α
4
=λ
1
α
1
+λ
1
α
2
+λ
1
α
3
(*) 设有数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
一α
4
)=0将(*)式代入上式并化简，得 (k
1
一λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
一λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
一λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=0，由R(Ⅲ)=4知α
1
，α
2
，α
3
，α
5
线性无关，所以
【答案解析】解析：本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系．注意证1是利用定义证明向量组(Ⅳ)线性无关，其中利用了“若α
1
，…，α
r
线性先关，而α
1
，…α
r
，β线性相关，则β可由α
1
，…，α
r
线性表示”的结论．证2则利用了“等价的向量组必具有相同的秩”这一结论．