问答题
设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
因为F(0)=F(π)=0，所以存在x
1
∈(0，π)，使得F"(x
1
)=0，即f(x
1
)sinx
1
=0，又因为sinx
1
≠0，所以f(x
1
)=0．
设x 1 是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x 1 时，有sin(x-x 1 )f(x)恒正或恒负，于是
而
矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x
1
)=f(x
2
)=0，x
1
，x
2
∈(0，π)且x
1
＜x
2
，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x
1
，x
2
)
因为F(0)=F(π)=0，所以存在x
1
∈(0，π)，使得F"(x
1
)=0，即f(x
1
)sinx
1
=0，又因为sinx
1
≠0，所以f(x
1
)=0．
设x 1 是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x 1 时，有sin(x-x 1 )f(x)恒正或恒负，于是
而
矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x
1
)=f(x
2
)=0，x
1
，x
2
∈(0，π)且x
1
＜x
2
，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x
1
，x
2
)