设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．
【正确答案】正确答案：必要性：设ε
j
为E
m
的第j个列向量，由必要性假定，方程组Ax=ε
j
有解c
j
，即Ac
j
=ε
j
，(j=1，2，…，m)，→A[c
1
c
2
… c
m
]=[ε
1
ε
2
…ε
m
]=E
m
，记C=[c
1
c
2
… c
m
]，则有AC=E
m
，故m=r(E
m
)=r(AC)≤r(A)≤m，→r(A)=m；充分性：设r(A)=m，即A的行向量组线性无关，故
的行向量组线性无关，从而有
=m，由有解判定定理，知方程组Ax=b有解(其中
的行向量组线性无关，从而有
=m，由有解判定定理，知方程组Ax=b有解(其中
【答案解析】