设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数：
(Ⅰ)Y
1
=e
X
； (Ⅱ)Y
2
=-2lnX； (Ⅲ)Y
3
=
【正确答案】正确答案：依题意，X的概率密度为f
X
(x)=
(Ⅰ)y=e
x
在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h"(y)=
≠0，用公式(2．16)即得Y的概率密度为
(Ⅱ)y=-2lnX在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域为(0，+∞)，h"(y)=
≠0，根据公式(2．16)，Y
3
的概率密度为
(Ⅲ)y=
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数h"(y)=
≠0，应用公式(2．16)，Y
3
的概率密度为
(Ⅳ)y=x
2
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域亦为(0，1)，且h("y)=
≠0．应用公式(2．16)，Y
4
的概率密度为
(Ⅰ)y=e
x
在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h"(y)=
≠0，用公式(2．16)即得Y的概率密度为
(Ⅱ)y=-2lnX在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域为(0，+∞)，h"(y)=
≠0，根据公式(2．16)，Y
3
的概率密度为
(Ⅲ)y=
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数h"(y)=
≠0，应用公式(2．16)，Y
3
的概率密度为
(Ⅳ)y=x
2
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域亦为(0，1)，且h("y)=
≠0．应用公式(2．16)，Y
4
的概率密度为
【答案解析】