(2007年试题，17)求函数f(x，y)=x
2
+2y
2
一x
2
y
2
在区域D={(x,y)｜x
2
+y
2
≤4，y≥0}上的最大值和最小值．
【正确答案】正确答案：最大值和最小值在函数极值和边界上取得，应分类讨论：①求驻点：
当(x，y)=(0，0)时f(0，0)=0；当(x，y)=(±
，±1)时f(±
，±1)=2②考查边界y=0，此时f(x，y)=x
2
，则0≤f(x，y)≤4．③考查边界x
2
+y
2
=4，y>0．令F(x，y)=x
2
+2y
2
一x
2
y
2
一λ(x
2
+y
2
一4)．由
得
当(x，y)=(0，0)时f(0，0)=0；当(x，y)=(±
，±1)时f(±
，±1)=2②考查边界y=0，此时f(x，y)=x
2
，则0≤f(x，y)≤4．③考查边界x
2
+y
2
=4，y>0．令F(x，y)=x
2
+2y
2
一x
2
y
2
一λ(x
2
+y
2
一4)．由
得
【答案解析】