【正确答案】正确答案：用正定的定义证明． 显然A ^T A，B ^T B都是n阶的实对称矩阵，从而A ^T A+B ^T B也是n阶实对称矩阵． 由于r(A+B)=n，n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A+B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而α ^T (A ^T A+B ^T B)α=α ^T A ^T Aα+α ^T B ^T Bα=‖Aα‖ ² +‖Bα‖ ² ＞0．根据定义，A ^T A+B ^T B正定．