问答题
设函数f
n
(x)=x
n+1
+x
n
+…+x
2
+x．
问答题
求证：对每个正整数n，方程f
n
(x)=1存在唯一的正根x
n
，
【正确答案】
【答案解析】由于当|x|＜1时，函数
从而
由连续函数中值定理可知，对于每个正整数n，方程f n (x)=1至少存在一个根
．此外，当x＞0时还有
f" n (x)=(n+1)x n +nx n-1 +…+3x 2 +2x+1＞1，
即函数f n (x)当x＞0时单调增加．
故f n (x)=1最多只有一个正根，综合即知：对于每个正整数n，方程f n (x)=1存在唯一的正根
从而
由连续函数中值定理可知，对于每个正整数n，方程f n (x)=1至少存在一个根
．此外，当x＞0时还有
f" n (x)=(n+1)x n +nx n-1 +…+3x 2 +2x+1＞1，
即函数f n (x)当x＞0时单调增加．
故f n (x)=1最多只有一个正根，综合即知：对于每个正整数n，方程f n (x)=1存在唯一的正根
问答题
求极限
【正确答案】
【答案解析】解法一：
把f
n
(x
n
)=1代入
可得
再把拉格朗日中值定理用于差
，并利用f"
n
(x)＞1即知：存在
，使得
把以上所得的不等式联合起来可得，对于n=1，2，3，…，有
由极限的夹逼定理即得
解法二： 从数列{x n }的单调性入手，对于每个正整数n，当x＞0时有
f n+1 (x)=x n+2 +f n (x)＞f n (x)，
由此可得
f n+1 (x n+1 )=1=f n (x n )＜f n+1 (x n )．
注意函数f n+1 (x)当x＞0时单调增加，由上式可得x n+1 ＜x n 对每个正整数n成立，于是数列{x n }满足
按单调有界数列极限存在定理即知极限
存在，记
，则a满足
在等式
两端令n→∞取极限，并利用
，即得
可得
再把拉格朗日中值定理用于差
，并利用f"
n
(x)＞1即知：存在
，使得
把以上所得的不等式联合起来可得，对于n=1，2，3，…，有
由极限的夹逼定理即得
解法二： 从数列{x n }的单调性入手，对于每个正整数n，当x＞0时有
f n+1 (x)=x n+2 +f n (x)＞f n (x)，
由此可得
f n+1 (x n+1 )=1=f n (x n )＜f n+1 (x n )．
注意函数f n+1 (x)当x＞0时单调增加，由上式可得x n+1 ＜x n 对每个正整数n成立，于是数列{x n }满足
按单调有界数列极限存在定理即知极限
存在，记
，则a满足
在等式
两端令n→∞取极限，并利用
，即得