【正确答案】正确答案：本题可转化为方程组A ⁿ x=0与A ⁿ⁺¹ x=0同解的证明。 若A ⁿ x=0，则A ⁿ⁺¹ x=0，因此A ⁿ x=0的解必为A ⁿ⁺¹ x=0的解； 反之，当A ⁿ⁺¹ x=0时，如果A ⁿ x≠0，设k ₀ ，k ₁ ，…，k _n 使k ₀ x+k ₁ Ax+…+k _n A ⁿ x=0，依次用A ⁿ ，A ^n-1 ，…，A乘该式，即得k ₀ =k ₁ =…=k _n =0，故这n+1个向量线性无关，这显然与n+1个n维向量必线性相关矛盾，所以A ⁿ x=0，于是可知A ⁿ x=0与A ⁿ⁺¹ x=0同解，故R(A ⁿ )=R(A ⁿ⁺¹ )。