解答题
17.设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T．
①若α1，α2，α3线性相关，求a．
②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
①若α1，α2，α3线性相关，求a．
②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
【正确答案】①α1，α2，α3线性相关，则r（α1，α2，α3）＜3．
(α1，α2，α3)=
得a=—3．
②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组
的非零解，解此方程组：
解得α4=c（19，—6，0，1）T，c≠0．
③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，
从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示．
方法一 由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示．
用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设(4=c1α1+c2α2+c3α3，则
(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)
=0．
得α4=0，与α4是非零向量矛盾．
方法二 计算行列式
| α1，α2，α3，α4|
(α1，α2，α3)=
得a=—3．
②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组
的非零解，解此方程组：
解得α4=c（19，—6，0，1）T，c≠0．
③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，
从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示．
方法一 由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示．
用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设(4=c1α1+c2α2+c3α3，则
(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)
=0．
得α4=0，与α4是非零向量矛盾．
方法二 计算行列式
| α1，α2，α3，α4|
【答案解析】