问答题
确定常数a，使向量组α
1
=(1，1，a)
T
，α
2
=(1，a，1)
T
，α
3
=(a，1，1)
T
可由向量组β
1
=(1，1，a)
T
，β
2
=(-2，a，4)
T
，β
3
=(-2，a，a)
T
线性表示，但向量组β
1
，β
2
，β
3
不能由向量组α
1
，α
2
，a
3
线性表示．
【正确答案】
【答案解析】解 记A=(α
1
，α
2
，a
3
)，B=(β
1
，β
2
，β
3
)．由于β
1
，β
2
，β
3
不能由α
1
，α
2
，a
3
线性表示，所以A的秩r(A)＜3，从而行列式
得a=1或a=-2．
当a=1时，α 1 =α 2 =α 3 =β 1 =(1，1，1) T ，显然α 1 ，α 2 ，a 3 可由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示，而β 2 =(-2，1，4) T 不能由α 1 ，α 2 ，a 3 线性表示，即a=1符合题意．
当a=-2时，则有
考虑非齐次线性方程组Bx=α 2 ，由上述可知矩阵B的秩r(B)=2，而秩
得a=1或a=-2．
当a=1时，α 1 =α 2 =α 3 =β 1 =(1，1，1) T ，显然α 1 ，α 2 ，a 3 可由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示，而β 2 =(-2，1，4) T 不能由α 1 ，α 2 ，a 3 线性表示，即a=1符合题意．
当a=-2时，则有
考虑非齐次线性方程组Bx=α 2 ，由上述可知矩阵B的秩r(B)=2，而秩