已知二次曲面方程χ
2
＋ay
2
＋z
2
＋2bχy＋2χz＋2yz＝4可以经过正交变换
【正确答案】正确答案：根据题意，矩阵A＝
和矩阵B＝
是相似的，于是有＝｜λE－B｜，即
解得a＝3，b＝1． 此时，矩阵A＝
，特征值为λ
1
＝0，λ
2
＝1，λ
3
＝4． 由(0E－A)χ＝0，得属于特征值λ
1
＝0的特征向量为α
1
＝(1，0，－1)
T
； 由(E－A)χ＝0，得属于特征值λ
2
＝1的特征向量为α
2
＝(1，－1，1)
T
； 由(4E－A)χ＝0，得属于特征值λ
3
＝4的特征向量为α
3
＝(1，2，1)
T
． 将α
1
，α
2
，α
3
单位化，得到
和矩阵B＝
是相似的，于是有＝｜λE－B｜，即
解得a＝3，b＝1． 此时，矩阵A＝
，特征值为λ
1
＝0，λ
2
＝1，λ
3
＝4． 由(0E－A)χ＝0，得属于特征值λ
1
＝0的特征向量为α
1
＝(1，0，－1)
T
； 由(E－A)χ＝0，得属于特征值λ
2
＝1的特征向量为α
2
＝(1，－1，1)
T
； 由(4E－A)χ＝0，得属于特征值λ
3
＝4的特征向量为α
3
＝(1，2，1)
T
． 将α
1
，α
2
，α
3
单位化，得到
【答案解析】