解答题
2.设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数?
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
【正确答案】(I)由f(x1，x2，x3)=0得
当a≠2时，方程组有唯一解：x1=x2=x3=0．
当a=2时，方程组有无穷解：令x1=1，可得解
．k∈R．
(Ⅱ)当a≠2时，做非退化的线性变换
此时f(x1，x2，x3)的规范形为f=y12+y22+y32．
当a=2时，做非退化的线性变换
则 f(x1，x2，x3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2
当a≠2时，方程组有唯一解：x1=x2=x3=0．
当a=2时，方程组有无穷解：令x1=1，可得解
．k∈R．(Ⅱ)当a≠2时，做非退化的线性变换
此时f(x1，x2，x3)的规范形为f=y12+y22+y32．
当a=2时，做非退化的线性变换
则 f(x1，x2，x3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2
【答案解析】