设y(x)是方程y
(4)
－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
【正确答案】正确答案：由泰勒公式 y(x)=y(0)+yˊ(0)x+
yˊˊ(0)x
2
+
yˊˊˊ(0)x
3
+o(x
3
) (x→0)． 当x→0时，y(x)与x
3
同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y
(4)
－yˊˊ=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt－∫
0
x
yˊˊ(t)dt=0， 即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx． 易知，它有特解y
*
=－Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
－x
－Cx． 由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得 C
1
+C
2
=0，C
1
－C
2
=C=>
因此最后得y=[
yˊˊ(0)x
2
+
yˊˊˊ(0)x
3
+o(x
3
) (x→0)． 当x→0时，y(x)与x
3
同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y
(4)
－yˊˊ=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt－∫
0
x
yˊˊ(t)dt=0， 即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx． 易知，它有特解y
*
=－Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
－x
－Cx． 由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得 C
1
+C
2
=0，C
1
－C
2
=C=>
因此最后得y=[
【答案解析】