问答题
设有矩阵A
m×n
，B
n×m
，E
m
+AB可逆．
(1)验证：E n +BA也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A；
(2)设
其中
(1)验证：E n +BA也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A；
(2)设
其中
【正确答案】
【答案解析】【证】(1) (E
n
+BA)(E
n
-B(E
m
+AB)
-1
A)
=E n +BA-B(E m +AB) -1 A-BAB(E m +AB) -1 A
=E n +BA-B(E n +AB)(E m +AB) -1 A=E n ，
故 (E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A．
(2)
其中X=[x 1 ，x 2 ，…，x n ] T ，Y=[y 1 ，y 2 ，…，y n ] T ．
因
由(1)知P=E+XY
T
可逆，且
=E n +BA-B(E m +AB) -1 A-BAB(E m +AB) -1 A
=E n +BA-B(E n +AB)(E m +AB) -1 A=E n ，
故 (E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A．
(2)
其中X=[x 1 ，x 2 ，…，x n ] T ，Y=[y 1 ，y 2 ，…，y n ] T ．
因
由(1)知P=E+XY
T
可逆，且