解答题
设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f”(x)≠0．证明：
问答题
21.对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；
【正确答案】对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得
f(x)＝f(0)＋xf’[Θ(x)x]，其中0＜Θ(x)＜1．
因为f”(x)∈C(－1，1)且f”(x)≠0，所以f”(x)在(－1，1)内保号，不妨设f”(x)＞0，
则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以Θ(x)是唯一的．
f(x)＝f(0)＋xf’[Θ(x)x]，其中0＜Θ(x)＜1．
因为f”(x)∈C(－1，1)且f”(x)≠0，所以f”(x)在(－1，1)内保号，不妨设f”(x)＞0，
则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以Θ(x)是唯一的．
【答案解析】
问答题
22.
θ(x)＝
θ(x)＝
【正确答案】由泰勒公式，得
f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋
x2，其中ξ介于0与x之间，
而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有
f’[Θ(x)x]＝f’(0)＋
·Θ(x)＝
，
令x→0,再由二阶导数的连续性及非零性，得
(x)＝
f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋
x2，其中ξ介于0与x之间，而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有
f’[Θ(x)x]＝f’(0)＋
·Θ(x)＝，令x→0,再由二阶导数的连续性及非零性，得
(x)＝【答案解析】