设f(x，g(x)满足f"(x)=g(x)，g"(x)=2e
x
-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求
【正确答案】正确答案：由f"(x)=g(x)可得f""(x)=g"(x)，结合g"(x)=2e
x
-f(x)可得f(x)满足微分方程 f""(x)=2e
x
-f(x)，即 y""=2e
x
-y． 它对应的齐次方程为y""+y=0，特征方程为λ
2
+1=0，特征根为λ
1
=i，λ
2
=-i．因此y""+y=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx． 在y""+y=2e
x
中，由于λ=1不是其齐次方程的特征根，因此它有形如y=ae
x
的特解，将y=ae
x
代入方程y""+y=2e
x
中可得a=1．因此y""+y=2e
x
的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx+e
x
由f(0)=0，g(0)=2，可知f(x)是y""+y=2e
x
的满足初值条件y(0)=0，y"(0)=2的特解．将初值条件代入通解中得C
1
=-1，C
2
=1．因此 f(x)=-cosx+sinx+e
x
． 由于
注意到，f(0)=0，f"(x)=g(x)，因此
注意到，f(0)=0，f"(x)=g(x)，因此
【答案解析】解析：由f"(x)=g(x)两边求导可得f""(x)=g"(x)，再由g"(x)=2e
x
-f(x)可得f(x)所满足的微分方程．