问答题
设曲线积分
与路径无关，其中φ(x)具有连续的一阶导数，且φ(0)=0．计算曲线积分
与路径无关，其中φ(x)具有连续的一阶导数，且φ(0)=0．计算曲线积分
【正确答案】
【答案解析】本题主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件、一阶线性微分方程求特解的方法以及相应的曲线积分．
设P(x，y)=xy 2 ，Q(x，y)=yφ(x)，由题意知
，即2xy=yφ"(x)．
解此一阶线性微分方程，得φ(x)=x 2 +c，再由φ(0)=0，得c=0，故φ(x)=x 2 ．
解法一： 选取特殊路径
沿直线y=x从点O(0，0)到点(1，1)的积分，得
解法二： 利用全微分方程
设P(x，y)=xy 2 ，Q(x，y)=yφ(x)，由题意知
，即2xy=yφ"(x)．
解此一阶线性微分方程，得φ(x)=x 2 +c，再由φ(0)=0，得c=0，故φ(x)=x 2 ．
解法一： 选取特殊路径
沿直线y=x从点O(0，0)到点(1，1)的积分，得
解法二： 利用全微分方程