设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f'(x)+3∫
0
x
f'(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dt+e
－x
=0，求f(x)．
【正确答案】正确答案：因为x∫
0
1
f(tx)dt=∫
0
x
f(u)du，所以f'(x)+3∫
0
x
f'(t)dt+2x∫
0
1
f(tx)dt+e
－x
=0可化为f'(x)+3∫
0
x
f'(t)dt+2∫
0
x
f(t)dt+e
－x
=0，两边对x求导得f''(x)+3f'(x)+2f(x)=e
－x
，由λ
2
+3λ+2=0得λ
1
=－1，λ
2
=－2，则方程f''(x)+3f'(x)+2f(x)=0的通解为C
1
e
－x
+C
2
e
－2x
．令f''(x)+3f'(x)+2f(x)=e
－x
的一个特解为y
0
=axe
－x
，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C
1
e
－x
+C
2
e
－2x
+xe
－x
．由f(0)=1，f'(0)=－1得C
1
=0，C
2
=1，故原方程的解为f(x)=e
－2x
+xe
－x
．
【答案解析】