填空题
已知α
1
，α
2
，α
3
线性无关．α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
线性相关．则实数t等于 1．
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：-1／2
【答案解析】解析：本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单．证明α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
线性相关就是要证明其秩小于3． 记矩阵A=(α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
)．用矩阵分解，有 A=(α
1
，α
2
，α
3
)
记C=
由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥， r(α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
)=r(A)=r(C)． 于是α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
线性 相关
r(C)＜3
记C=
由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥， r(α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
)=r(A)=r(C)． 于是α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
线性 相关
r(C)＜3