解答题
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
问答题
2.求A的全部特征值；
【正确答案】设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则
Aα=λα (α≠0)，A2α=λ2α，
于是
(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，
由条件A2+2A=O推知
(λ2+2λ)α=0．
又由于α≠0，故
λ2+2λ=0．
解得
λ=-2，λ=0．
因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以
Aα=λα (α≠0)，A2α=λ2α，
于是
(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，
由条件A2+2A=O推知
(λ2+2λ)α=0．
又由于α≠0，故
λ2+2λ=0．
解得
λ=-2，λ=0．
因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以
【答案解析】本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法．利用A2+2A=O及r(A)=2，求出A的特征值．利用第一问的结果，求出A+kE的特征值，当其特征值均大于零时，A+kE为正定矩阵．
问答题
3.当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
【正确答案】矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由第一问知，A+kE的全部特征值为
-2+k，-2+k，k，
于是，当k＞2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k＞2时，矩阵A+kE为正定矩阵．
-2+k，-2+k，k，
于是，当k＞2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k＞2时，矩阵A+kE为正定矩阵．
【答案解析】