【正确答案】因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²－2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－2．由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=－2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=－2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α₁，为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=－2的特征向量．
令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0，故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为

令P=(α₂，α₃，α₁)=，由P^－1AP=，得
A=，所求的二次型为
f=X^TAX=x₁²+x₂²－