设有向量组(I)：α 1 =(1，0，2) T ，α 2 =(1，1，3) T ，α 3 =(1，一1，a+2) T 和向量组(Ⅱ)：β 1 =(1，2，a+3) T ，β 2 =(2，1，a+6) T ，β 3 =(2，1，a+4) T ．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
【正确答案】正确答案：因行列式｜α 1 α 2 α 3 ｜=a+1≠0，故当a≠一1时方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =β i (i=1，2，3)均有解(且有惟一解)，所以向量组(II)可由(I)线性表示．又由行列式｜β 1 β 2 β 3 ｜=6≠0，同理可知向量组(I)可由(1I)线性表示．故当a≠一1时，(I)与(II)等价．当a=一1时，由于秩[α 1 α 2 α 3 ]≠秩[α 1 α 2 α 3 ｜β 1 ]，故方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =β 1 无解，即β 1 不能由(I)线性表示，因此(I)与(II)不等价．
【答案解析】