解答题
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
问答题
15.证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
【正确答案】f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2
【答案解析】
问答题
16.若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
【正确答案】设A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，则
Aα=(2ααT+ββT)α
=2α｜α｜2+ββTα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。而矩阵A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
Aα=(2ααT+ββT)α
=2α｜α｜2+ββTα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。而矩阵A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
【答案解析】