（Ⅰ）比较∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）
n
]dt 与∫
0
1
t
n
|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）]
n
dt（n=1，2，…），求极限
【正确答案】正确答案：（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。 当0≤t≤1时，f'（t）=
一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0） =0，即当0≤t≤1时， 0≤ln（1+t）≤t≤1，从而 [ln（1+t）]
n
≤t
n
（n=1，2，…）。 又由|lnt|≥0得 ∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）]
n
dt≤∫
0
t
t
n
|lnt|dt（n=1，2，…）。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）]
n
dt≤∫
0
1
t
n
|lnt|dt，因为 ∫
0
1
t
n
|lnt|dt=—∫
0
1
t
n
（lnt）dt
一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0） =0，即当0≤t≤1时， 0≤ln（1+t）≤t≤1，从而 [ln（1+t）]
n
≤t
n
（n=1，2，…）。 又由|lnt|≥0得 ∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）]
n
dt≤∫
0
t
t
n
|lnt|dt（n=1，2，…）。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln（1+t）]
n
dt≤∫
0
1
t
n
|lnt|dt，因为 ∫
0
1
t
n
|lnt|dt=—∫
0
1
t
n
（lnt）dt
【答案解析】