问答题
(本题满分11分)
设
，且B=P
-1
AP，
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)当
设
，且B=P
-1
AP，
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)当
【正确答案】
【答案解析】解：(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为
得矩阵A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =-3。
由齐次线性方程组(E-A)x=0，
，得基础解系η
1
=(-4，1，2)
T
。
由齐次方程组(-3E-A)x=0，
，得基础解系η
2
=(-2，1，1)
T
。
综上，矩阵A的关于特征值λ 1 =λ 2 =1的特征向量为k 1 (-4，1，2) T ，k 1 为任意非零常数。
矩阵A的关于特征值λ=-3的特征向量为k 2 (-2，1，1) T ，k 2 为任意非零常数。
(Ⅱ)由已知，得矩阵B
(Ⅲ)由P -1 AP=B有P -1 A 100 P=B 100 ，故A 100 =PB 100 P -1
又
于是
得矩阵A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =-3。
由齐次线性方程组(E-A)x=0，
，得基础解系η
1
=(-4，1，2)
T
。
由齐次方程组(-3E-A)x=0，
，得基础解系η
2
=(-2，1，1)
T
。
综上，矩阵A的关于特征值λ 1 =λ 2 =1的特征向量为k 1 (-4，1，2) T ，k 1 为任意非零常数。
矩阵A的关于特征值λ=-3的特征向量为k 2 (-2，1，1) T ，k 2 为任意非零常数。
(Ⅱ)由已知，得矩阵B
(Ⅲ)由P -1 AP=B有P -1 A 100 P=B 100 ，故A 100 =PB 100 P -1
又
于是