解答题
14.设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．
【正确答案】因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使
其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得
(P-1AP)(P-1BP)=P-1ABP=P-1BAP=(P-1BP)(P-1AP)，
即
Λ(P-1BP)=(P-1BP)Λ．
令P-1BP=(cij)n×n，代入上式，有
比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0．由此有cij=0(i≠j)，故
其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得
(P-1AP)(P-1BP)=P-1ABP=P-1BAP=(P-1BP)(P-1AP)，
即
Λ(P-1BP)=(P-1BP)Λ．
令P-1BP=(cij)n×n，代入上式，有
比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0．由此有cij=0(i≠j)，故
【答案解析】本题考查矩阵相似对角化的条件．