设二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
问答题
求a，b的值．
【正确答案】正确答案：二次型f的矩阵为
【答案解析】
问答题
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
【正确答案】正确答案：由矩阵A的特征多项式
=(A-2)
2
(λ+3)， 得到λ的特征值λ
1
=λ
2
=λ
3
=-3． 对于λ=2，由(2E-A)x=0，
得到属于λ=2的线性无关的特征向量α
1
=(0，1，0)
T
，α
2
=(2，0，1)
T
． 对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，
得到属于λ=-3的特征向量d3=(1，0，-2)T． 由于α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需单位化，有 γ
1
=(0，1，0)
T
γ
2
=
(2，1，1)
T
γ
3
=
(1，1，-2)
T
那么，令P=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则P为正交矩阶，存正交变换x=Py下，有 P
T
AP=P
-1
AP=
=(A-2)
2
(λ+3)， 得到λ的特征值λ
1
=λ
2
=λ
3
=-3． 对于λ=2，由(2E-A)x=0，
得到属于λ=2的线性无关的特征向量α
1
=(0，1，0)
T
，α
2
=(2，0，1)
T
． 对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，
得到属于λ=-3的特征向量d3=(1，0，-2)T． 由于α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需单位化，有 γ
1
=(0，1，0)
T
γ
2
=
(2，1，1)
T
γ
3
=
(1，1，-2)
T
那么，令P=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则P为正交矩阶，存正交变换x=Py下，有 P
T
AP=P
-1
AP=
【答案解析】