设二次型
一4x
1
x
2
一4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
经正交变换化为
一4x
1
x
2
一4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
经正交变换化为
【正确答案】正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是A=
由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似．那么 1+1+1=3+3+b=
b=－3．
对λ=3，由(3E—A)x=0得特征向量α
1
=(1，一1，0)
T
， α
2
=(1，0，一1)
T
； 对λ=－3，由(一3E—A)x=0得特征向量α
3
=(1，1，1)
T
． 因为λ=3是二重根，对α
1
，α
2
正交化有 β
1
=α
1
=(1，一1，0)
T
，
单位化，有
令C=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，经x=Cy，二次型化为
由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似．那么 1+1+1=3+3+b=
b=－3．
对λ=3，由(3E—A)x=0得特征向量α
1
=(1，一1，0)
T
， α
2
=(1，0，一1)
T
； 对λ=－3，由(一3E—A)x=0得特征向量α
3
=(1，1，1)
T
． 因为λ=3是二重根，对α
1
，α
2
正交化有 β
1
=α
1
=(1，一1，0)
T
，
单位化，有
令C=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，经x=Cy，二次型化为
【答案解析】