解答题

问答题求证：对任何0＜|x|≤1，存在θ(x)∈(0，1)，使得

【正确答案】证：对任意0＜|x|≤1，由拉格朗日中值定理得 (*) 其中ξ∈(0，x)，则，令，则θ(x)∈(0，1)，ξ=xθ(x)。(*)式可改写为

【答案解析】

问答题求极限

【正确答案】解：由上小题可知利用，可得根据θ(x)∈(0，1)，知

【答案解析】[考点] 拉格朗日中值定理的应用和极限的求解。

问答题设试验成功的概率为

，失败的概率为

【正确答案】解：设试验的次数为X，则X的分布律为令所以

【答案解析】

问答题设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且

【正确答案】证：令因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F'(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒负，于是而矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f'(ξ)=0．

【答案解析】

问答题若曲线上任一点处的切线，坐标轴以及过切点平行于x轴的直线所围成的梯形面积等于4，且曲线过点(2，2)，求该曲线．

【正确答案】解：设所求曲线y=f(x)，切点为(x，y)，切线方程为Y-y=y'(X-x)，令Y=0，得切线在x轴上的截距．此梯形下底长即X，上底长为x，高为y，故梯形面积，即 2(xy-4)y'=y2，即 ①(一阶性并齐次微分方程) 先解，积分得 lnx=2lny+lnC， ∴x=Cy2(齐通)．再解非齐次微分方程，常数变易法，令x=C(y)y2，代入式①得即又x=2，y=2，得 ∴所求曲线方程为

【答案解析】