问答题
设总体X服从于正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为
，求统计量
，求统计量
【正确答案】[解法一] 设Zi=Xi+Xi+1(i=1，2，…n)，为从总体Z中取出的样本容量为n的样本．
则E(Zi)=E(Xi)+E(Xn+i)=μ+μ=2μ，
D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi与Xn+i相互独立)
=σ2+σ2=2σ2，
所以Z～N(2μ，2σ2)．
因样本与总体同分布，则
样本方差为
因为S2是总体Z的方差的无偏估计量，
所以
所以E(Y)=2(n-1)σ2．
[解法二] 设
因为
相互独立，
所以
则E(Zi)=E(Xi)+E(Xn+i)=μ+μ=2μ，
D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi与Xn+i相互独立)
=σ2+σ2=2σ2，
所以Z～N(2μ，2σ2)．
因样本与总体同分布，则
样本方差为
因为S2是总体Z的方差的无偏估计量，
所以
所以E(Y)=2(n-1)σ2．
[解法二] 设
因为
相互独立，所以
【答案解析】[考点提示] 随机样本的正态分布．