设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f'(1)=0，f(2)=5／3．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"'(ξ)=2．
【正确答案】正确答案：方法一先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0， P(2)=f(2)=5／3，P(1)=f(1)．
令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c
1
∈(0，1)，c
2
∈(1，2)，使得g'(c
1
)=g'(1)=g'(c
2
)=0，又存在d
1
∈(c
1
，1)，d
2
∈(1，c
2
)使得g"(d
1
)=g"(d
2
)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d
1
，d
2
)
(0，2)，使得g"'(ξ)=0，而g"'(x)=f"'(x)－2，所以f"'(ξ)=2． 方法二由泰勒公式，得
两式相减，得2／3=
令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c
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∈(0，1)，c
2
∈(1，2)，使得g'(c
1
)=g'(1)=g'(c
2
)=0，又存在d
1
∈(c
1
，1)，d
2
∈(1，c
2
)使得g"(d
1
)=g"(d
2
)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d
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，d
2
)
(0，2)，使得g"'(ξ)=0，而g"'(x)=f"'(x)－2，所以f"'(ξ)=2． 方法二由泰勒公式，得
两式相减，得2／3=
【答案解析】