已知随机变量X的概率密度为f(χ)＝Ae
χ(B－χ)
(－∞＜χ＜＋∞)，且有EX＝2DX，试求：
(Ⅰ)常数A，B的值；
(Ⅱ)E(X
2
＋e
χ
)；
(Ⅲ)Y＝
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由f(χ)＝Ae
χ(B－χ)
＝
将f(χ)看成正态分布X～N(
)的密度函数，由已知条件 EX＝2DX，得
＝1，B＝2． 而
从而A＝
，B＝2． (Ⅱ)E(X
2
＋e
χ
)＝EX
2
＋Ee
χ
EX
2
＝DX＋(EX)
2
＝
故E(χ
2
＋e
χ
)＝
(Ⅲ)X～N(1，
)，X－1～N(0，
)，
(X－1)～N(0，1)． 当y＜0时，F(y)＝0 当y≥0时，F(y)＝P{Y≤y}＝P{
｜X－1｜≤y}＝P{－y≤
(X－1)≤y} ＝
将f(χ)看成正态分布X～N(
)的密度函数，由已知条件 EX＝2DX，得
＝1，B＝2． 而
从而A＝
，B＝2． (Ⅱ)E(X
2
＋e
χ
)＝EX
2
＋Ee
χ
EX
2
＝DX＋(EX)
2
＝
故E(χ
2
＋e
χ
)＝
(Ⅲ)X～N(1，
)，X－1～N(0，
)，
(X－1)～N(0，1)． 当y＜0时，F(y)＝0 当y≥0时，F(y)＝P{Y≤y}＝P{
｜X－1｜≤y}＝P{－y≤
(X－1)≤y} ＝
【答案解析】