【正确答案】(Ⅰ)这里区域D是单连通的，P，Q在D上有连续的偏导数，于是
在D内与路径无关
即在区域D上

因此，仅当λ=-1时在D内与路径无关.
(Ⅱ)只要P，Q在D上连续，则
Pdx+Qdy在D上存在原函数在D内与路径无关.
因此，由题(Ⅰ)知仅λ=-1时Pdx+Qdy在D存在原函数，下求原函数u(du=Pdx+Qdy)：
方法1°不定积分法，由对x积分

注意
再由

因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为
方法2°特殊路径积分法.

取(x₀，y₀)=(0，1)及积分路径为折线如图，则


因此，全体原函数为

【答案解析】把题(Ⅰ)与题(Ⅱ)合起来用如下解法更简便些.
积分在D内与路径无关Pdx+Qdy在区域D上存在原函数u(x，y)存在u(x，y)使得

由对x积分得

由得

因此求得：λ=-1，且此时C′(y)=0，C(y)=C. 由式得