解答题
8.
设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：
∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
g(x)dx=ab，
其中g(x)是f(x)的反函数．
【正确答案】
令F(a)=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
f(a)
g(x)dx-af(a)，对a求导得
F'(a)=f(a)+g[f(a)]f'(a)-af'(a)-f(a)，
由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F'(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．
【答案解析】
即证对a有函数恒等式∫
0
a
f(x)dx+∫
0
f(a)
g(x)dx=af(a)成立．
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