选择题
已知λ1=2，λ2=1，λ3=-1为三阶矩阵A的3个特征值，对应特征向量为α1，α2，α3．令P=[2α2，3α3，-α1]，则P-1(A+2E)P=______．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
A
【答案解析】 属于同一特征值的特征向量的线性组合仍然是属于该特征值的特征向量．
解一 因α1，α2，α3为A的3个不同特征值的特征向量，故线性无关，且它们都是齐次方程的解．而2α2，3α3，-α1仍然分别为齐次方程的解，且它们线性无关，故它们也为A的3个不同特征值的特征向量．于是令
P=[2α2，3α3，-α1]，
有
故P-1(A+2E)P=P-1AP+2P-1EP
仅(A)入选．
解二 由A的特征值
λ2=1，λ3=-1，λ1=2，
得到A+2E的3个不同的特征值
μ2=1+2=3，μ3=-1+2=1，μ1=2+2=4，
因而A+2E可相似对角化，且
解一 因α1，α2，α3为A的3个不同特征值的特征向量，故线性无关，且它们都是齐次方程的解．而2α2，3α3，-α1仍然分别为齐次方程的解，且它们线性无关，故它们也为A的3个不同特征值的特征向量．于是令
P=[2α2，3α3，-α1]，
有
故P-1(A+2E)P=P-1AP+2P-1EP
仅(A)入选．
解二 由A的特征值
λ2=1，λ3=-1，λ1=2，
得到A+2E的3个不同的特征值
μ2=1+2=3，μ3=-1+2=1，μ1=2+2=4，
因而A+2E可相似对角化，且