问答题
设α1=(1，2，3，1)T，α2=(1，1，2，-1)T，α3=(1，3，a，3)T，α4=(3，5，7，-1)T，β=(0，1，1，b)T。
(Ⅰ)当a，b满足什么条件时，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式唯一?
(Ⅱ)当a，b满足什么条件时，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式不唯一?并求出β的表示式。
(Ⅰ)当a，b满足什么条件时，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式唯一?
(Ⅱ)当a，b满足什么条件时，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式不唯一?并求出β的表示式。
【正确答案】设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β(1)，
其增广矩阵(α1，α2，α3，α4，β)=
(Ⅰ)当a≠4时，r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=4，方程组(1)有唯一解，即β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式唯一。
(Ⅱ)当a=4时，(α1，α2，α3，α4，β)→
，
故当a=4，b=2时，r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，方程组(1)有无穷多解，即β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式不唯一，
，同解方程组为
其增广矩阵(α1，α2，α3，α4，β)=
(Ⅰ)当a≠4时，r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=4，方程组(1)有唯一解，即β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式唯一。
(Ⅱ)当a=4时，(α1，α2，α3，α4，β)→
，故当a=4，b=2时，r(α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，方程组(1)有无穷多解，即β可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示式不唯一，
，同解方程组为【答案解析】[考点] 向量间的线性表示