解答题
9.求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值．
【正确答案】由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得
f'(x)=2x(2-x2)e-x2．
解f'(x)=0得x=0与x=
，于是
从而，f(x)的最大值是
=∫02(2-t)e-td
t=∫02(2-t)de-t=(t-2)e-t｜02-∫02e-tdt
=2+e｜02
=1+e-2．
由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与
的大小．由于
f'(x)=2x(2-x2)e-x2．
解f'(x)=0得x=0与x=
，于是从而，f(x)的最大值是
=∫02(2-t)e-tdt=∫02(2-t)de-t=(t-2)e-t｜02-∫02e-tdt
=2+e｜02
=1+e-2．
由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与
的大小．由于【答案解析】