【正确答案】因为|x(a)|≤‖x‖_∞，所以
   ‖x‖₁≤‖x‖_∞+‖x'‖_∞=‖x‖
    另一方面，存在某个c使得a＜c﹤t且
   x(t)-x(a)=(t-a)x'(c)
    因此
  |x(t)|≤|x(a)|+|t-a‖x'(c)|≤|x(a)|+(b-a)‖x'‖_∞，
    这对所有[a，b]中的t都成立。所以
   ‖x‖_∞≤|x(a)|+(b-a)‖x'‖_∞，
   ‖x‖_∞+‖x'‖_∞≤|x(a)|+(b-a+1)‖x'‖_∞，
   ‖x‖≤(b-a+1)(|x(a)|+‖x'‖_∞)=(b-a+1)‖x‖₁，
   从而这两个范数等价。
   设{x_n}相对于‖·‖是柯西列。因为
   ‖x_n-x_m‖=‖x_n-x_m‖+‖x'_n-x'_m‖_∞，
   所以{x_n}和{x'_n}是C[a，b]中相对于上确界范数‖·‖的柯西列。因为C[a，b]关于‖·‖_∞是完备的，所以在C[a，b]中存在x，y使得关于‖·‖_∞有x_n→x且x'_n→y。而且关于‖·‖_∞的收敛是一致收敛。所以x_n→x和x'_n→y在[a，b]上一致收敛。从而x在[a，b]上可微，x'=limx'_n=y。因此x'=y是连续的。所以x∈C¹[a，b]且
   ‖x_n-x‖_∞→0，  ‖x'_m-x'‖_∞→0，
   ‖x_n-x‖=‖x_n-x‖_∞+‖x'_n-x'‖_∞→0
   故关于‖·‖有x_n→x。这就证明了X关于‖·‖是完备的。因为‖·‖₁等价于‖·‖，所以X关于‖·‖₁也是完备的。
   最后，为了证明b-a+1是最佳常数。设C是常数使得对所有x∈X有
   ‖x‖≤c‖x|₁    (4)
   考虑函数x(t)=t-a其中a≤t≤b。对X中的这个x我们有
   ‖x‖_∞=b-a，  x'(t)=1，  ‖x'‖_∞=1
  所以‖x‖=b-a+1且‖x‖₁=1。由(4)式知b-a+1≤c。这就完成了证明。