问答题
求下列函数的极值．
问答题
设f(x)=xe-x，求函数f(x)的极值．
【正确答案】f(x)的极大值为f(1)=e-1．
【答案解析】
问答题
求函数y=x3-3x2-9x+1的极值．
【正确答案】f(-1)=6为极大值，f(3)=-26为极小值．
【答案解析】
问答题
求函数y=x3-3x2-1的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．
【正确答案】D(f)=(-∞，+∞)，y'=3x2-6x，y"=6x-6，
令y'=0，得x=0，x=2，令y"=0，得x=1．
以下列表讨论：
所以函数的单调增加区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减少区间为(0，2)，
极大值为f(0)=-1，极小值为f(2)=-5．
其曲线的凸区间为(-∞，1)，凹区间为(1，+∞)，拐点为(1，-3)．
令y'=0，得x=0，x=2，令y"=0，得x=1．
以下列表讨论：
| x | (-∞，0) | 0 | (0，1) | 1 | (1，2) | 2 | (2，+∞) |
| y' | + | 0 | - | - | 0 | + | |
| y" | - | - | 0 | + | + | ||
| y | ↗ ∩ |
极大值 f(0)=-1 |
↘ ∩ |
拐点 (1，-3) |
↘ ∪ |
极小值 f(2)=-5 |
↗ ∪ |
极大值为f(0)=-1，极小值为f(2)=-5．
其曲线的凸区间为(-∞，1)，凹区间为(1，+∞)，拐点为(1，-3)．
【答案解析】
问答题
求函数
【正确答案】[*]，令f'(x)=0，得驻点[*](舍去)．
[*]，
[*]，
所以函数f(x)在区间[1，6]上的最大值为[*]，最小值为[*]．
【答案解析】
问答题
求
【正确答案】函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．
由于[*]，则y=0为曲线的水平渐近线．
[*]，则x=-1为曲线的铅直渐近线．
【答案解析】
问答题
设有一根长为l的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为S2，证明当S1+S2为最小值时
【正确答案】证明：将铁丝分成两段，设其长分别为x，l-x，将长为x的一段构成半径为R的圆形，则2πR=x，[*]，则有
[*]，
[*]，令S'=0，得惟一驻点[*]．
又[*]，所以[*]为极小值点．
由于实际问题存在最小值，所以[*]亦为最小值点．
故当S1+S2为最小值时，有[*]．
[*]，
[*]，令S'=0，得惟一驻点[*]．
又[*]，所以[*]为极小值点．
由于实际问题存在最小值，所以[*]亦为最小值点．
故当S1+S2为最小值时，有[*]．
【答案解析】
问答题
将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如下图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做一个无盖的正三棱柱盒子，问当图中的x取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积．
【正确答案】由于正三棱柱盒子的高为[*]，
正三棱柱盒子的底面积为[*]([*])，
所以正三棱柱盒子的容积为[*]，
[*]．
令V'(x)=0，得驻点[*](舍去)．
由于[*]，
所以[*]为极大值点，由于实际问题存在最大值，
所以[*]亦为最大值点，即[*]时容积最大，最大容积为[*]．
【答案解析】
问答题
欲做一个底为正方形，容积为108cm3的长方体无盖容积，问长方体的底面边长和高为多少时，用料最少，最少用料为多少?
【正确答案】设底面边长为xcm，高为hcm，总用料为Scm2．
∵x2h=108，∴[*]．
则S=[*]，
[*]，令S'=0，得驻点x=6(cm)，
[*]，S"(6)=6＞0，
∴x=6是惟一极小值点，即是最小值点．即当底面边长为6cm，高为3cm时，用料最少，最少用料为[*](cm2)．
∵x2h=108，∴[*]．
则S=[*]，
[*]，令S'=0，得驻点x=6(cm)，
[*]，S"(6)=6＞0，
∴x=6是惟一极小值点，即是最小值点．即当底面边长为6cm，高为3cm时，用料最少，最少用料为[*](cm2)．
【答案解析】
问答题
计划建造一个深为4m，容积为1600m2的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元?
【正确答案】设池底边长分别为x和y，由题设可知[*]．
设池壁与池底造价之和为u，则
[*]，
u'=[*]，令u'=0，得驻点x=20，x=-20(舍去)，
[*]，
即当x=20时，u取最小值．此时
u=16000+160×2×20=16000+6400=22400．
答：池壁与池底造价之和最低为22400元．
【答案解析】
问答题
证明：当x≥0时，x≥arctanx．
【正确答案】证明：设f(x)=x-arctanx，f(0)=0，当x≥0时，
[*]，所以当x≥0时，f(x)=x-arctanx为单调增加函数，
f(x)＞f(0)=0，即x≥arctanx．
【答案解析】
问答题
证明：当x＞1时，
【正确答案】证明：令[*]，
[*](x＞1)，
所以当x＞1时，f(x)=[*]为单调增加函数，f(x)＞f(1)=0，
即当x＞1时，[*]．
【答案解析】
问答题
证明：当x＞0时，
【正确答案】证明：令[*]，
[*]．
当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)为单调减少函数，有f(x)＞f(1)=0，
即[*]
当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)为单调增加函数，有f(x)＞f(1)=0，
即[*]．
综上所述，当x＞0时，[*]．
【答案解析】
问答题
设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，证明方程f'(x)=0仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内．
【正确答案】证明：函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在其定义域(-∞，+∞)上连续且可导．
由f(1)=f(2)=f(3)=0可知，f(x)在区间[1，2]，[2，3]上满足罗尔定理条件，
由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(1，2)，使得f'(ξ)=0；至少存在一点η∈(2，3)，
使得f'(η)=0，即方程f'(x)=0至少有两个实根．
又因为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)为三次多项式函数，f'(x)为二次多项式，
f'(x)=0为一元二次方程，至多有2个实根．
综上所述，方程f'(x)=0仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内．
【答案解析】
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)上可导，且f'(x)≠1，证明f(x)=x最多有一个实根．
【正确答案】证明：令F(x)=f(x)-x，F'(x)=f'(x)-1，
因为f'(x)≠1，所以F'(x)≠0，即F'(x)＞0或F'(x)＜0．
这说明F(x)=f(x)-x为单调函数，其相应曲线最多有一个零点，
即方程f(x)=x最多有一个实根．
【答案解析】