设方程x
n
+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根x
n
，并证明当α＞1时，级数
【正确答案】正确答案：记f
n
(x)=x
n
+nx一1．由f
n
(0)=一1＜0，f
n
(1)=n＞0，于是由连续函数的介值定理知，方程x
n
+nx一1=0存在正实数根x
n
∈(0，1)． 当x＞0时，f"
n
(x)=nx
n—1
+n＞0，可见f
n
(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程x
n
+nx一1=0存在唯一正实数根x
n
． 由x
n
+nx一1=0与x
n
＞0知
【答案解析】