已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)
2
f(x)，证明
【正确答案】正确答案：首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明
，使得F''(x
0
*
)=0即可． 显然F(0)=
=0，于是由罗尔定理知，
，使得F'(x
1
)=0．又 F'(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)
2
f'(x)，
对F'(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x
0
*
∈
，使得F''(x
0
*
)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F'(x)与F''(x)均为以2π为周期的周期函数，于是
x
0
=2π+x
0
*
，即x
0
∈
，使得F''(x
0
*
)=0即可． 显然F(0)=
=0，于是由罗尔定理知，
，使得F'(x
1
)=0．又 F'(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)
2
f'(x)，
对F'(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x
0
*
∈
，使得F''(x
0
*
)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F'(x)与F''(x)均为以2π为周期的周期函数，于是
x
0
=2π+x
0
*
，即x
0
∈
【答案解析】