设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y'+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．
【正确答案】正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e
-kx
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e
-kx
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=e
-kx-kω
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]．
C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt=e
-kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]
e
-kω
[C+∫
-ω
x
f(s+ω)e
ks+kω
ds] =Ce
-kω
+∫
-ω
0
f(s)e
ks
ds+∫
0
x
f(s)e
ks
ds．
∫
-ω
0
f(s)e
ks
ds
∫
0
ω
f(t)e
kt
dt=
C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt=e
-kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]
e
-kω
[C+∫
-ω
x
f(s+ω)e
ks+kω
ds] =Ce
-kω
+∫
-ω
0
f(s)e
ks
ds+∫
0
x
f(s)e
ks
ds．
∫
-ω
0
f(s)e
ks
ds
∫
0
ω
f(t)e
kt
dt=
【答案解析】