【正确答案】正确答案:(Ⅰ)化为求解条件最值问题.设P(χ,y,z)为S上

点,P到П的距离 d=

|2χ+2y+z+6|. 求d存条件χ
2
+y
2
-2z=0下的最小值

求9d
2
=(2χ+2y+z+6)
2
在条件χ
2
+y
2
-2z=0下的最小值.用拉格朗日乘子法,令 F(χ,y,z,λ)=(2χ+2y+z+6)
2
+λ(χ
2
+y
2
-2z), 解方程组

=4(2χ+2y+z+6)+2λχ=0, ①

=4(2χ+2y+z+6)+2λy=0, ②

=2(2χ+2y+z+6)-2A=0, ③

=χ
2
+y
2
-2z=0. ④ 由①,②,当λ≠0时得χ=y,代入②,③,④得

进一步解得

于是得χ=y=-2,z=4. 另λ=0时,对应

显然无解. 因此得唯一驻点P
0
(-2,-2,4).由于实际问题存在最小值,该P
0
点就是S上与П距离最近的点.P
0
点到П的距离d=

|2.(-2)+2.(-2)+4+6|=

. 就是旋转抛物面S到平面П的最短距离. (Ⅱ)旋转抛物面S:χ
2
+y
2
-2z=0上

点(χ,y,z)处的法向量为(2χ,2y,-2),S在点P
0
处的法向量η
1
=-2(2,2,1),П的法向量露η
2
=(2,2,1),η
1
∥η
2
因此S在P
0
的法线
