设有旋转抛物面S:z=
【正确答案】正确答案:(Ⅰ)化为求解条件最值问题.设P(χ,y,z)为S上 点,P到П的距离 d= |2χ+2y+z+6|. 求d存条件χ 2 +y 2 -2z=0下的最小值 求9d 2 =(2χ+2y+z+6) 2 在条件χ 2 +y 2 -2z=0下的最小值.用拉格朗日乘子法,令 F(χ,y,z,λ)=(2χ+2y+z+6) 2 +λ(χ 2 +y 2 -2z), 解方程组 =4(2χ+2y+z+6)+2λχ=0, ① =4(2χ+2y+z+6)+2λy=0, ② =2(2χ+2y+z+6)-2A=0, ③ =χ 2 +y 2 -2z=0. ④ 由①,②,当λ≠0时得χ=y,代入②,③,④得 进一步解得 于是得χ=y=-2,z=4. 另λ=0时,对应 显然无解. 因此得唯一驻点P 0 (-2,-2,4).由于实际问题存在最小值,该P 0 点就是S上与П距离最近的点.P 0 点到П的距离d= |2.(-2)+2.(-2)+4+6|= . 就是旋转抛物面S到平面П的最短距离. (Ⅱ)旋转抛物面S:χ 2 +y 2 -2z=0上 点(χ,y,z)处的法向量为(2χ,2y,-2),S在点P 0 处的法向量η 1 =-2(2,2,1),П的法向量露η 2 =(2,2,1),η 1 ∥η 2 因此S在P 0 的法线
【答案解析】