【正确答案】证 由题设，有常数k₁，k₂，…，k_m，使得
   k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=β    (3-27)
   必要性 设线性表示式(3-27)是惟一的，我们来证向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关.设有数λ₁，λ₂，…，λ_m，使得
   λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_mα_m=0    (3-28)
   (3-27)式与(3-28)式相加，得
   (k₁+λ₁)α₁+(k₂+λ₂)α₂+…+(k_m+λ_m)α_m=β    (3-29)
   由于β由α₁，α₂，…，α_m线性表示的式子惟一，比较(3-27)式与(3-29)式，即得k_i=k_i+λ_i，从而有λ_i=0(i=1，2，…，m)，所以，向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关.
   充分性 设向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关，我们来证β由α₁，α₂，…，α_m线性表示的式子惟一.设还有线性表示式
   l₁α₁+l₂α₂+…+l_mα_m=β    (3-30)
   (3-27)式与(3-30)式相减，得
   (k₁-l₁)α₁+(k₂-l₂)α₂+…+(k_m-l_m)α_m=0
   由于α₁，α₂，…，α_m线性无关，故得k_i-l_i=0.所以l_i=k_i(i=1，2，…，m)，故表示式(3-30)与(3-27)是相同的，即β由α₁，α₂，…，α_m线性表示的式子是惟一的.

【答案解析】本题必要性也可以用反证法，读者可以一试.本题结论如从方程组的角度讲就是：如果非齐次线性方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_mα_m=β有解，则其解惟一的充分必要条件是向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的未知量个数.