结构推理
设u
n
≤c
n
≤v
n
，(n=1，2，…)，并且级数∑
n=1
∞
和∑
n=1
∞
v
n
都收敛，证明级数∑
n=1
∞
c
n
也收敛．
【正确答案】
令a
n
=v
n
-u
n
，b
n
=c
n
-u
n
，则a
n
≥b
n
≥0．又∑
n=1
∞
u
n
与∑
n=1
∞
v
n
都收敛，所以∑
n=1
∞
a
n
收敛，由正项级数的比较收敛法，∑
n=1
∞
n
n
也收敛，而c
n
=b
n
+u
n
，∑
n=1
∞
b
n
与∑
n=1
∞
u
n
都收敛，所以∑
n=1
∞
b
n
也收敛．
【答案解析】
此题如直接用比较法是错误的，因为已知的级数不一定是正项级数．因此，首先要用所给级数构造出两个正项级数，再由它们来证明∑
n=1
∞
c
n
收敛．
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