问答题
设函数f(x)在[0，+∞)有连续导数且满足f(0)=0，f"(x)＜0在(0，+∞)成立，求证：对任何x
1
＞x
2
＞0有
x 1 f(x 2 )＞x 2 f(x 1 )．
x 1 f(x 2 )＞x 2 f(x 1 )．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
，于是
g"(x)与h(x)
xf"(x)=f(x)同号．由h(x)在[0，+∞)连续，
h"(x)=xf"(x)＜0(
x＞0)
h(x)在[0，+∞)单调下降，h(x)＜h(0)=0(
x＞0)，即g"(x)＜0当x＞0时成立．从而对
x
1
＞x
2
＞0有g(x
2
)＞g(x
1
)，即原不等式成立．
[解析]
x
1
＞x
2
＞0有x
1
f(x
2
)＞x
2
f(x
1
)
，于是
g"(x)与h(x)
xf"(x)=f(x)同号．由h(x)在[0，+∞)连续，
h"(x)=xf"(x)＜0(
x＞0)
h(x)在[0，+∞)单调下降，h(x)＜h(0)=0(
x＞0)，即g"(x)＜0当x＞0时成立．从而对
x
1
＞x
2
＞0有g(x
2
)＞g(x
1
)，即原不等式成立．
[解析]
x
1
＞x
2
＞0有x
1
f(x
2
)＞x
2
f(x
1
)