解答题
14.设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且3f(0)＝f(1)＋2f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＝0．
【正确答案】因为f(χ)在[1，2]上连续，所以f(χ)在[1，2]上取到最小值m和最大值M，
又因为m≤
≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得
f(c)＝
，即f(1)＋2f(2)＝3f(c)，
因为f(0)＝f(c)，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)
又因为m≤
≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得f(c)＝
，即f(1)＋2f(2)＝3f(c)，因为f(0)＝f(c)，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)
【答案解析】