【正确答案】这是闭区域上求最值的问题，由于函数f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．
首先求f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D内部的极值：

g(x，y)=(f_xy^")²一f_xx^"f_yy^"=一3得f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D内部的极大值

再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为
F(x，y，λ)=x+xy一x²一y²+λy，解方程组

在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为，最小值为0．
同理可求出：
在上面边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左面边界上的最大值为0，最小值为一4；在右面边界上的最大值为，最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D上的最大值为