问答题
求下列微分方程的通解：
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘
，得
(Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为
一yx=y
3
，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e
∫—ydy
=
，积分得 x=
一y
2
—2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为
．这还是一个伯努利方程．改写成x
2
x
3
=3y
2
．而
+C=3ln｜y｜+C， 即 x
3
=Cy
3
+3y
3
ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy'=
． 由于2yy'=(y
2
)'，则原方程化为(y
2
)'一
． 以y
2
为未知函数这又是一个一阶线性非齐次方程，而
得
，得
(Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为
一yx=y
3
，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e
∫—ydy
=
，积分得 x=
一y
2
—2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为
．这还是一个伯努利方程．改写成x
2
x
3
=3y
2
．而
+C=3ln｜y｜+C， 即 x
3
=Cy
3
+3y
3
ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy'=
． 由于2yy'=(y
2
)'，则原方程化为(y
2
)'一
． 以y
2
为未知函数这又是一个一阶线性非齐次方程，而
得
【答案解析】